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    函数的奇偶性学案范文



    时间:2016-07-05 17:02来源: 教育网作者:好学网 点击:[打印本页] [收藏本页]字体: [ ]

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    小品大全 www.waddlr.com 本文摘要:小编为学友整理了2016年人教版函数的奇偶性学案: 高中教案大全网: ●知识梳理 1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+ f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(...

      小编为学友整理了2016年人教版函数的奇偶性学案:
      高中教案大全网:
      ●知识梳理
      1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+ f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数.
      2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数.
      3.奇、偶函数的性质
    (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).
    (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
    (3)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0.
    (4)奇函数的反函数也为奇函数.
    (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
    ●点击双基
    1.下面四个结论中,正确命题的个数是
    ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)
    A.1 B.2 C.3 D.4
    解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.
    答案:A
    2.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是
    A.奇函数 B.偶函数
    C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
    解析:由f(x)为偶函数,知b=0,有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.
    答案:A
    3.若偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是
    A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(cosβ)
    C.f(sinα)>f(sinβ) D.f(cosα)>f(sinβ)
    解析:∵偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角,
    ∴α+β>90°,α>90°-β.1>sinα>cosβ>0.
    ∴f(sinα)>f(cosβ).
    答案:B
    4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=___________,b=___________.
    解析:定义域应关于原点对称,
    故有a-1=-2a,得a= .
    又对于所给解析式,要使f(-x)=f(x)恒成立,应b=0.
    答案: 0
    5.给定函数:①y= (x≠0);②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+ ).
    在这五个函数中,奇函数是_________,偶函数是_________,非奇非偶函数是__________.
    答案:①⑤ ② ③④
    ●典例剖析
    【例1】 已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则
    A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2)
    C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0)
    剖析:由f(x-2)在[0,2]上单调递减,
    ∴f(x)在[-2,0]上单调递减.
    ∵y=f(x)是偶函数,
    ∴f(x)在[0,2]上单调递增.
    又f(-1)=f(1),故应选A.
    答案:A
    【例2】 判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
    (2)f(x)=(x-1)• ;
    (3)f(x)= ;
    (4)f(x)=
    剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.
    解:(1)函数的定义域x∈(-∞,+∞),对称于原点.
    ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
    ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
    (2)先确定函数的定义域.由 ≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
    (3)去掉绝对值符号,根据定义判断.
    由 得
    故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有f(x)= = ,这时有f(-x)= =- =-f(x),故f(x)为奇函数.
    (4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x>0时,-x<0,
    ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).
    当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).
    故函数f(x)为奇函数.
    评述:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.
    (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
    【例3】 (2005年北京东城区模拟题)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
    (1)求f(1)的值;
    (2)判断f(x)的奇偶性并证明;
    (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
    (1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
    (2)证明:令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0.
    令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
    (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.
    ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)
    ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
    ∴(*)等价于不等式组


    或 或
    ∴3<x≤5或- ≤x<- 或- <x<3.
    ∴x的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3或3<x≤5}.
    评述:解答本题易出现如下思维障碍:
    (1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.
    (2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反.
    深化拓展
    已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是( , ), >a2,那么f(x)•g(x)>0的解集是
    A.( , ) B.(-b,-a2)
    C.(a2, )∪(- ,-a2) D.( ,b)∪(-b2,-a2)
    提示:f(x)•g(x)>0 或
    ∴x∈(a2, )∪(- ,-a2).
    答案:C
    【例4】 (2004年天津模拟题)已知函数f(x)=x+ +m(p≠0)是奇函数.
    (1)求m的值.
    (2)(理)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值和最小值.
    (文)若p>1,当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值和最小值.
    解:(1)∵f(x)是奇函数,
    ∴f(-x)=-f(x).
    ∴-x- +m=-x- -m.
    ∴2m=0.∴m=0.
    (2)(理)(?。┑眕<0时,据定义可证明f(x)在[1,2]上为增函数.∴f(x)max=
    f(2)=2+ ,f(x)min=f(1)=1+p.
    (ⅱ)当p>0时,据定义可证明f(x)在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.
    ①当 <1,即0<p<1时,f(x)在[1,2]上为增函数,
    ∴f(x)max=f(2)=2+ ,f(x)min=f(1)=1+p.(责任编辑:haoxuee)



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